【Editorial Renmin】Matemáticas de Secundaria, 8.º grado, Primer semestre: Superposición de figuras y propiedades: Introducción a los triángulos congruentes

Observa la estructura de armazón del Puente del Río Yangtsé en Nanjing y verás que numerosos elementos triangulares están conectados entre sí. Debido a que estos triángulosson congruentesysus lados correspondientes son igualesse mantienen extremadamente estables bajo cargas externas. Esta característica de 'superposición completa' no solo es la base de la ingeniería, sino también el alma de la lógica geométrica.

Esencia de los triángulos congruentes: la superposición

Cuando movemos una figura mediante traslación, reflexión o rotación hasta que coincida completamente con otra, hemos transformado el concepto de 'congruencia' desde un objeto físico hasta un modelo geométrico.

Figuras congruentes (Congruent figures)Son dos figuras que pueden superponerse perfectamente.
Triángulos congruentes (Congruent triangles)Son dos triángulos que pueden superponerse perfectamente.

Durante la superposición,los vértices coincidentesse llaman vértices correspondientes,los lados coincidentesse llaman lados correspondientes,los ángulos coincidentesse llaman ángulos correspondientes.

Símbolo y notación

La congruencia se representa con el símbolo “$\cong$”, que se lee como 'es congruente con'.

Nota: Al escribir la congruencia entre dos triángulos, normalmente se colocan las letras que representanlos vértices correspondientes en posiciones correspondientes。例如：$\triangle ABC \cong \triangle DBC$ 表示 $A$ 与 $D$ 对应，$B$ 与 $B$ 对应，$C$ 与 $C$ 对应。

Propiedad fundamental

Los triángulos congruentes tienensus lados correspondientes son igualesy susángulos correspondientes iguales.

🎯 Técnica para identificar

En figuras complejas, presta atención a buscar 'lados comunes' (por ejemplo, $AD$ es un lado tanto de $\triangle ABD$ como de $\triangle ACD$) o 'ángulos comunes', ya que son pistas clave para determinar las relaciones de congruencia.

PREGUNTA 1

¿Qué principio debe seguirse al escribir la relación de congruencia $\triangle ABC \cong \triangle DEF$?

Las letras deben estar ordenadas alfabéticamente

Las letras de los vértices correspondientes deben escribirse en posiciones correspondientes

Primero escribe el triángulo de mayor área

No hay requisitos especiales; puedes escribirlo libremente

PREGUNTA 2

Como se muestra en la Figura 12.1-2 (2), $\triangle ABC$ y $\triangle DBC$ son simétricos respecto a la recta $BC$. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones sobre los elementos correspondientes es incorrecta?

$AB$ y $DB$ son lados correspondientes

$BC$ es un lado común y también un lado correspondiente

$\angle A$ y $\angle D$ son ángulos correspondientes

$AC$ y $BC$ son lados correspondientes

PREGUNTA 3

Dado que $\triangle OCA \cong \triangle OBD$, y los puntos $C$ y $B$, $A$ y $D$ son vértices correspondientes. ¿Cuál de las siguientes conclusiones es correcta?

$OC = OB, OA = OD, AC = BD$

$OC = OD, OA = OB, AC = BD$

$OA = AC, OB = BD$

$\angle COA = \angle DOB = 90^\circ$

PREGUNTA 4

Como se muestra en la figura, $\triangle ABC \cong \triangle CDA$, con $AB$ y $CD$, $BC$ y $DA$ como lados correspondientes. ¿Cuál es el ángulo correspondiente a $\angle BAC$?

$\angle CAD$

$\angle DCA$

$\angle D$

$\angle B$

PREGUNTA 5

La figura muestra dos triángulos congruentes. El primer triángulo tiene ángulos de $54^\circ$ y $60^\circ$, y lados $a, b, c$. En el segundo triángulo se conocen los lados $b$ y $c$. ¿Cuánto mide el ángulo $\angle 1$ entre estos dos lados?

$54^\circ$

$60^\circ$

$66^\circ$

$114^\circ$

PREGUNTA 6

$\triangle EFG \cong \triangle NMH$, con $\angle F = \angle M$. Dados $EF=2.1$ cm, $EH=1.1$ cm, $NH=3.3$ cm. Calcula la longitud del segmento $NM$.

$1.1$ cm

$2.1$ cm

$3.3$ cm

$2.2$ cm

PREGUNTA 7

Continuando con la pregunta anterior, calcula la longitud del segmento $HG$.

$1.1$ cm

$2.2$ cm

$3.3$ cm

$4.4$ cm

PREGUNTA 8

$\triangle ABC \cong \triangle DEC$, con $CA$ y $CD$, $CB$ y $CE$ como lados correspondientes. ¿Cuál es la relación entre $\angle ACD$ y $\angle BCE$?

son complementarios

son iguales

$\angle ACD = 2\angle BCE$

no hay una relación necesaria

PREGUNTA 9

$\triangle AEC \cong \triangle ADB$, con los puntos $E$ y $D$ como vértices correspondientes. Si $\angle A = 50^\circ$, $\angle ABD = 39^\circ$, halla el valor del ángulo $\angle AEC$.

$91^\circ$

$39^\circ$

$50^\circ$

$100^\circ$

PREGUNTA 10

La congruencia está presente en la vida cotidiana. ¿Cuál de los siguientes pares de objetos cumple mejor la definición de 'figuras congruentes'?

Dos sellos del mismo valor impresos en el mismo diseño

Un gato grande y un gato pequeño

Dos planos impresas por fotocopiadora con diferentes escalas

Dos círculos dibujados con compás de radios diferentes